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Mais ce raisonnement a un autre défaut. Les équations 

 (14) et (15) ne donnent pas nécessairement les solutions 

 singulières de l'équation (14) quand celle-ci a de telles 

 solutions. En réalité, les solutions singulières sont don- 

 nées, quand elles existent, par les deux systèmes suivants 

 (x r est la dérivée de x par rapport à y) : 



v_ 



f(x,y,y')=0 % = . . (16) et (17) 

 ây 



OX 



f(x,y,x'- l )=0 — =0 . . (18) et (19) 

 à î 

 6y 



Les objections de M. Darboux ne peuvent plus s'appliquer 

 ici. Si l'on change dans l'équation (16) une constante en 

 une fonction de x, il pourra se faire, ou bien que la nou- 

 velle équation n'ait plus de solution singulière; ou bien, 

 si elle en a encore une, qu'elle soit donnée par les équa- 

 tions (18) et (19) dont la seconde contient une dérivée par 

 rapport à x. Il peut se faire aussi que la solution singulière 

 ne change pas. 



5. M. de Morgan (*) essaye de démontrer comme suit 

 que les systèmes (16) et (17), (18) et (19) conduisent, en 



(*) Voir Boole, Treatise on di/ferential équations, 2 e édition, p. 181 , 

 Supplementary volume , p. 56. Boole renvoie au recueil intitulé : Transac- 

 tions of thc Cambridge Philosophical Society, vol. IX, part. II, où M. de 

 Morgan donne la démonstration du théorème rappelé ici, avec des exem- 

 ples géométriques du cas exceptionnel. 



