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une solution singulière en y, on l'obtiendra, en général 

 en éliminant y f entre l'équation (28) et 



^-=0» (54 



Voyons ce que devient la valeur commune de y' et y\. On 

 n'aura pas, en général , comme nous l'avons dit plus haut : 



<?F' JF' 



= 00 , ou = ce . 



Par suite on aura 





D'où ce théorème de Lagrange : La valeur de y" déduite 

 de l'équation différentielle a la forme - aux points de con- 

 tact des courbes représentées par l'intégrale générale avec 

 l'enveloppe (*). En effet, on a 



J âx ôy' u 

 d'où 



y — - 



J âx 



y"=-j- (56) 



(*) Lagrange , Calcul des fonctions , 2 e édit., 1 806 , p. 220 , in-8°. Boole , 

 Treatise, etc., p. 180 fait remarquer que la démonstratiou de Lagrange 

 n'est pas complètement rigoureuse, — La règle pour trouver les solutions 

 singulières n'est pas démontrée non plus d'une manière rigoureuse dans 

 la plupart des traités. 



