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Dans le § 4 de la première note, l'auteur présente le 

 coefficient P„ sous une forme dépendant d'une intégrale 

 dont il détermine la constante. Puis, après avoir cherché 

 le terme général de P„ en fonction de la constante déter- 

 minée d'abord, il arrive à une formule très -élégante, 

 donnant la somme du produit de deux séries. 



L'auteur termine ce premier travail par l'exposé d'un 

 autre moyen de calculer P„. Il s'appuie sur la formule 

 de Leibnitz, donnant le développant d'un produit y = uv. 

 L'auteur fait 



u = (\ -^ x)~^ 

 et 



donc 



En comparant les termes du développant à l'intégrale 

 eulérienne F, on voit la possibilité de faire dépendre cette 

 nouvelle valeur de P„ d'une intégrale : c'est ce que l'au- 

 teur fait avec beaucoup de talent. 



La deuxième note a pour point de départ un dévelop- 

 pement en fraction continue donné par Legendre dans les 

 notes placées à la fin de sa Géométrie. 



L'auteur, changeant légèrement les notations de Le- 

 gendre, fait voir d'une façon très-heureuse que la somma- 

 tion de la série employée dépend de l'intégration d'une 

 équation différentielle de 2"'' ordre. 



La troisième note s'occupe d'une formule combinatoire. 

 L'auteur rappelle trois développements connus , 



â 



arc sin jc et ^(arcsinx)\ 



1/1-X2 



