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§ V. — Séries dont la convergence est augmentée, 



i05. On connaît différents moyens de transformer une 

 série donnée en une autre dont la convergence est plus 

 rapide. Ces moyens consistent soit dans un nouveau grou- 

 pement des termes, soit au contraire dans la décomposition 

 de chaque terme en un nombre fini ou inflni de parties , 

 soit encore dans l'adjonction de termes nouveaux dont 

 l'ensemble s'annule. De tous ces procédés, le plus connu 

 et incontestablement le plus utile dans le calcul numérique , 

 est celui de Maclaurin, dont l'usage a été répandu par 

 Euler. On y substitue à la série donnée une autre suite, 

 ordonnée suivant les coefficients différentiels des ordres 

 croissants dans la proposée. 



Il est intéressant d'observer que celte marche , appliquée 

 aux séries retardées, les convertit en séries du genre 

 accéléré. Mais appliquée à ces dernières, elle n'offre pas les 

 mêmes avantages; au contraire, elle ramène souvent les 

 séries accélérées au type retardé. 11 est donc inutile de 

 l'essayer sur nos séries du troisième genre. 



Nous ajouterons encore qu'au point de vue du calcul 

 numérique, l'emploi de ce procédé est d'autant plus avan- 

 tageux qu'on exécute les opérations sur une partie plus 

 avancée de la suite, c'est-à-dire à partir d'un terme de rang 

 plus élevé. C'est presque toujours, par exemple, un excel- 

 lent moyen de sommer le reste d'une série retardée. 



104 Dans cette méthode il faut distinguer deux cas, 

 selon que les termes de la série donnée sont de même signe 

 ou de signe différent. Dans le premier cas, le reste R, au 



