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La dernière équation donne immédiatement l'intégrale 

 générale trouvée par Jacobi 



(A 2 — k s ) log u { 4- [le, - A,) log w 2 -+- (A-, — k,) log w a = C. (9) 



2. Le déterminant R n'est pas nid, si les racines de 

 F équation (6) sont inégales. Pour le montrer, soient 



(A.IW, (AAC), (A3B3C3), 



les mineurs du déterminant R. Si celui-ci est nul, on aura : 



«,A, -f- ajA a + a 5 A 3 = 0, p,B, -*- [3 2 B 2 -t- p 3 B 3 = 0, 

 rfi, -+- y s Cï -+- r 3 C 3 = 0, etc.; 

 A,: A 2 : A 5 : = B,: B 2 : B 3 : = C,: C 2 : C 5 . 



La première des équations (6) , où l'on fait successive- 

 ment k=k u k=k 2 , k=k z donne : 



a^i -*- b^ + c,ri = k^, . . . . (10 t ) 

 «,«*-*- 1,^ -+- c 1 y 2 = A 2 a 2 , . . . . (10 2 ) 

 aj« s -t- 6,p 3 -+- C) r 3 = A- 3 «3, • • • • (10 5 ) 



Ajoutons ces équations, après les avoir multipliées res- 

 pectivement par A 15 A 2 , A 5 . Il viendra 



AtjA,^ ■+■ A* 2 A 2 <z 2 -+- A'3A 3 a 3 = 0, 

 ou, à cause de la relation 



A^ -+- A 2 ? 2 -+- A 3 * s = 0, 

 (A, — A 3 ) A,a, -f- (A: 2 — A 3 ) A 2 * 2 = 0, . . . (Il,) 

 De même 



fa - A 3 ) B^ + (k. 2 - k s ) B 2 p 2 = 0, . . . (1 1 2 ) 

 (/c, - *,) C lTl -k (A 2 - A- 3 ) C 2 y 2 = 0, . . . (M,) 



On tire de ces trois dernières équations : 



A t a t : A 2 * 2 = B^, : B 2 |3 2 = C l y l : C 2 r 2 , 



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