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 D'après les équations (6) on peut prendre pour mineurs 

 de ce déterminant nul les qualités «,, (3,, y { . On a donc 

 identiquement : 



S = («, — k { ) *, -+- 6, S, -+- c, ri , 



S = G^aj -+- (6 2 — À,)(3, -H Ça?! , 



S == a 3 «, -+- B s ^ + (c 3 — /c,) 7',. 



Par conséquent, les trois équations déduites de (5' 2 ) sont 

 équivalentes à 



DS = 0, 



relation qui exprime que À| est une racine double de (7). 

 L'équation (5' 2 ) peut donc être vérifiée dans le cas actuel. 

 Je dis, de plus, que si k z est différent de k^, le déter- 

 minant R' n'est pas nul. En effet, soient 



(A,,B„ C.) (Ai, B 2 , C,) (A, B 3 ,C 3 ) 



les mineurs de R'. On a 



(a, — k t ) «i ■+- bp t -+- cri = 0, 



(a, — &,) Dj. { -f- 6DS, -+- cDri = «i, 



(a, — k 3 ) a 3 -+- bp z -*- c^ 3 = 0. 



Multiplions ces relations respectivement par Ai,A 2 , A 3 

 et ajoutons. Il viendra 



(Mi + A 2 )a, -*- /f.A.D*. + /c 5 A 3 a 3 = 0. 



Mais, si R' est nul, on a : 



A t a, -+- A 2 Da, -+- A 3 j: 3 = 0. 



Par suite, 



AA.+ ^,.- A:,)A 5 a 3 = 0. 

 De même 



B 2 (3 t + (/; 3 — £ ( )B 3 S 3 = 0, 



C ï r 1 -*-(A 3 -ft 1 )C 3 r s =0. 



