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On peut conjecturer, comme dans le cas précédent , 

 que (9") est l'intégrale générale de l'équation (2), dans le 

 cas où (7) a trois racines égales à k u mais il faut encore 

 vérifier cette conjecture, par un calcul direct. 



6. Vérification de la solution précédente. Multiplions 

 l'équation (2), par le déterminant (o"), où nous supprimons 

 les indices 1, parce qu'ils sont inutiles. Nous obtiendrons 

 l'équation (8") (où nous supposons également les indices 

 supprimés, pour plus de facilité), pourvu que l'on ait : 



«a -+- bp ■+- cy = ku = k(a.x -+- py -+- yz) . (o,) 

 aDa -+- 6D(3 -+- cDy = B(ku) = kD («x +- fiy -+- yz) 



-+- «x-+- (3y-f- yz, (%) 



aD 2 « -+- &D 2 p -4- cDV = D 2 {ku) = kl) 2 («x + py + yz) 



-f- <2D{xx + £y + yz) t S s) 



L'équation (5j) conduit aux équations (6) et (7), comme 

 dans le cas général. L'équation (o' 2 ) exprime, comme dans 

 le cas précédent, que k est une racine double de l'équa- 

 tion (7). L'équation (5" 3 ) entraîne les suivantes : 



a,D 2 a -*- bj) 2 p -+- c.DV = /^D 2 a -h 2Da , 

 a 2 D 2 a -t- 6 2 D 2 (3 -+- c 2 DV = *D*p + 2Dj3, 

 o 3 D 2 a -f- 6 3 D 2 [3 + c 3 D 2 r = fcD 2 r-+- 2D r , 

 ou encore, 



I) 2 [(«, — h)* -+- 6,(3 + c { y] = , 

 D 2 [« 2 a + (6 2 -/ t -)(3-+-c 2 r] = 0, 



c'est-à-dire, en appelant encore S, le premier membre de 

 l'équation (7) : 



D 2 S = 0. 



Celte équation, avec (5' 2 ), exprime que S=0 a une ra- 



