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 c'est-à-dire, en développant, 



du{uDht — 2D« 2 ) -+- ZuDudDu — u*d\fu = 0. 



Multiplions par u, ajoutons et retranchons ifîDhidu, puis 

 divisons par i/ 4 , il viendra : 



•2udu{u\f'i( — Du*) — u* {udlfu -+- Dhidu — ZDudDu) _ 

 h 4 



Sous cette forme, l'équation est immédiatement intégrable, 

 car elle peut s'écrire : 



(uDhi — Du* 

 -d[- 



Elle a pour intégrale : 



uDhi — Du* 



2 ' 



ou encore 



D 2 log« = C". 



L'équation (9") est donc bien l'intégrale dans le cas où 

 (7) a une racine triple. 



§ IV. Historique. 



7. Historique de la méthode de Jacobi proprement dite. 

 Jacobi a donné, le premier, dans le Journal de Crelle (*) 

 l'intégrale générale de l'équation 



(a,x -+- o 2 x -+- o 3 ) ( — dy) -t- (b { x -+- b t y ■+■ b z ) dx 



■+■ (dx + c*y -f- c t ) {xdy — ydx) (2) 



(*) T. XXIV, pp. 1-4. 



