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 que R n'est pas nul. On peut donc déduire, des équations 

 qui définissent Uj , U 2 , U 5 , A, , A 2 , k z , les relations : 



XR = A,U, -+- A 2 U 2 + A 3 U 3 , A a = A.AjU, -f- A 2 A 2 U 2 -t- A 3 A 3 U 3 , 

 YR = B,U, -+- B 2 U 2 -*- B 3 U 3 , B a = B.A.U, -+- B 2 A 2 U 2 -+- B 3 A 5 U 3 , 

 ZR = CU, -t- C 2 U 2 -+- C 3 U 3 ; Ca = C.A.U, -+- C 2 A 2 U 2 -f- C 3 A 3 U 3 . 



Par conséquent, on peut écrire les équations (1), comme 

 il suit: 



A,r/U 2 -+- A 2 c/U 2 + U 3 dU 3 B^U! -4- B 2 r/U 2 -+- B s dU 3 



A l k l l\ -t- A 2 A 2 U 2 -+- AAUj B^.U, -h B 2 A 2 U 2 -+- B 5 ft 5 U 3 

 ddlJi -*- C 2 (/U 2 + C 3 c/U 3 

 ~~ CfciU, -*- C 2 A 2 U 3 -+- C 3 A 3 U 3 ' 



Sous cette forme, on voit immédiatement qu'elles sont 

 une conséquence des équations (5), comme il fallait le 

 démontrer. 



5. Intégration de l'équation de Jacobi, par la méthode 

 de M. Allégret. Posons, dans le système (1) : 



X = xZ, Y = î/Z, 



a = a t x -+- a^y -+- a 3 , b = b { x -+- b^y ■+- 6 3 , c = c { x ■+- c t y ■+- c 3 . 



Il viendra : 



Zdx -t- xdZ _ Zdy -t- ydZ _ dZ 

 Ta = Z6 = Zc* 



On tire de là, par la théorie des proportions : 

 dx dy dZ 



a — ex b — cy Zc 



La première de ces deux dernières équations : 



bdx — ady -+- c(xdy — ydx) = , 

 est l'équation de Jacobi. 



