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 quand l'équation en k a deux racines égales à £j; D indique 

 une dérivée relative à k t . 



La première des deux équations précédentes peut s'écrire 

 successivement: 



A-.fDU.dU, — U.r/DUO + IV/U, = 0, 

 dUi U t rfDU t — DU t dU t 



Par suite, le système transformé prend la forme : 

 dU, _ U.dDU, — DU.dU, _ JU 5 

 U^~ _ ~~BÎ * 3 U 3 ' 



et il a pour intégrales: 



, DU i „ 

 logU.-A",— = G, 



DU, 

 logU 5 -fc 3 — J = H. 



5. Intégration de l'équation de Jacobi, par la méthode 

 de M.Allégret, dans le premier cas particulier. En intro- 

 duisant les fonctions u l} w 2 , le système intégral trouvé 

 devient : 



logZ -4- logW, = A, = G, 



u t 



logZ -+- log u z = À- 3 h H. 



Ui 



Soustrayant ces équations l'une de l'autre, on arrive à 

 l'intégrale de l'équation de Jacobi : 



Iog («.) = (il _ As) ^ + G-H, 



que M. Serret a trouvée par induction et dont nous avons 

 prouvé l'exactitude, dans la note citée. 



