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 La formule (1) est donc équivalente à celle-ci 



en faisant 



Dans la démonstration de la formule, on a supposé que 

 les courbes C Iv ... C„ se composaient chacune d'une seule 

 branche. Cette supposition ne restreint pas la généralité 

 du résultat; car on peut assimiler une ligne formée de p 

 branches à un système de p courbes. Ainsi, pour appli- 

 quer la formule (2) à une ligne d'ordre m, on regarde les 

 m branches de cette ligne comme autant de courbes dis- 

 tinctes. 



La relation (1) conduit à une propriété intéressante des 

 enveloppées. Avant de l'énoncer, nous devons rappeler 

 une définition. Si les rayons vecteurs correspondants, de 

 deux lignes, satisfont à une équation F(r, r,) = 0, l'une 

 d'elles est une transformée par rayon vecteur de l'autre, 

 et l'équation donnée exprime la loi de transformation. 

 On démontre facilement que la transformée d'une courbe 

 enveloppe est l'enveloppe des transformées des courbes 

 enveloppées (*). 



D'après cela, étant donnés un système de courbes en- 

 veloppées et leur enveloppe, la transformation par rayon 

 vecteur permet d'en déduire un nouveau système d'enve- 

 loppées et leur enveloppe. Soient A j^-J la différence 

 des courbures d'une enveloppée du premier système et de 



(*) Ce théorème suppose qu'on a transformé l'enveloppée et son enve- 

 loppe suivant la même loi. [VoirATouve//e Correspondance , t. II, p. 167.] 



