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 Supposons maintenant que les deux formes soient 

 identiques; alors l { = 0,,X 2 = 2 , ... X„==8„, et 



2±[^M...ir 1 ] = 2±[ e ^...er]. 



De plus le carré de chacun de ces déterminants est, à 

 un facteur près, égal au discriminant de la forme. 

 On a donc 



()., — /<)".. .(>„ — ).,)" 



{h- h)' 1 ...(>„- h) n 



I,D = m 







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où D représente le discriminant, et m un facteur constant. 



Lorsque n est impair, le second membre de cette égalité 

 est un déterminant, appelé gauche par M. Cayley (*), 

 et, d'après un théorème dû à Jacobi, ce déterminant est 

 nul. 



Ceci démontre la propriété que nous invoquions précé- 

 demment, c'est-à-dire que « l'invariant quadratique simul- 

 tané de deux formes identiques de degré impair est nul. » 



Puisque 



et que le carré d'un déterminant est un déterminant 

 symétrique (**), nous voyons que « l'invariant quadratique 

 d'une forme de degré pair est, à un facteur prés, égal au 

 quotient de deux déterminants symétriques, » car I, est, 

 dans ce cas, égal au double de ce quadrinvariant. 



Cette proposition, que nous sachions, n'a pas encore été 

 signalée. 



O Cayley, Journal de Crelle , t. XXXI I, p. 119. 



("*) Baltzer, Théorie und Anwendung der Determinan/cii, s 48. 



