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Sur la détermination des volumes et des aires; 

 par M. Emile Ghysens. 



La méthode générale de détermination des volumes et 

 des aires conduit le plus souvent à des calculs pénibles, 

 que l'on peut éviter quelquefois par des artifices particu- 

 liers. 



Le procédé suivant est utile sous ce rapport. 



Soit 



z = f(x,y), (1) 



l'équation d'une surface rapportée à des axes rectangu- 

 laires OX, OY, OZ; cherchons à évaluer le volume V, 

 compris entre la surface et le plan X Y. Nous supposerons, 

 pour plus de simplicité, que la surface se compose d'une 

 seule nappe, symétrique par rapport aux plans ZX, Z Y 

 et convexe vers les z positifs. 



La section faite, dans la surface, par un plan contenant 

 l'axe OZ et faisant, avec le plan Z X, un angle 9, est re- 

 présentée, dans son plan, par l'équation 



z = f(x t cos ?, x t sin Ç); (2) 



l'intersection OX, du plan sécant avec le plan X Y étant 

 prise pour axe des x v Représentons par U le volume de 

 révolution engendré par cette section en tournant autour 

 de l'axe Z. Si l'on mène, par l'axe, un second plan fai- 

 sant, avec le premier, un angle infiniment petit c/cp, on déter- 



