SÉANCE DU 6 JUir.LET igo3. 7 



sant des équations, le plan de la nappe soit la bande, de longueur indé- 

 finie et de largeur L, comprise entre h seuil rectiligne x = o et la crête 

 parallèle a; = L, thalweg el faîte où l'on aura ainsi, respectivemenl, ^0 = 



et -7^ = o. En vue de simplifier nos équations, posons 



formules où ç, vi seront, pour tenir lieu de x etde /?„, une nouvelle variable 

 indépendante et une nouvelle fonction, croissantes toutes deux de zéro à i, 

 où, par conséquent, M est la valeur de />„ pour x = L et où, enfin, c dé- 

 signe une constante positive, convenablement choisie. Le système (3), 

 dans lequel les dérivées pourront s'indiquer par des accents, deviendra 



\ -^ + 3c-r, = 0, ou 2-^ + 3c-=-n = o, 



(5) ■, ^^ ^ ''-■ 



\ (pour E = o) Yj = o, (pour î = i) '-i' = o et r, = r . 



» Multiplions l'équation indéfinie par riV«?^ ou par r, c?-/-,; et intégrons, 

 en tenant compte des conditions relatives à ^ = i . Nous aurons l'équation 

 différentielle première du profil de la surface : 



(6) -^-r/- = c^(.-r,'); .dou --^ = ^^ 



Et une deuxième intégration, effectuée, après séparation des variables, à 

 partir de la limite inférieure ^ = o où r, s'annule, donnera l'équation finie 

 du même profil : 



(7) ^^= / 1=.- 



» L'abscisse proportionnelle c de la surface libre est donc une certaine 

 intégrale elliptique de l'ordonnée analogue-fi. Enfin, comme ç, ri atteignent 

 en même temps leur limite supérieure i, la constante c est, d'après (7), 



» Pour la calculer, posons r, = y' ! ^^ 1"'' transformant l'expression 

 ' y»^'(i — y)'-"' t/y, donne l'intégrale eulérienne jB (f, j), 



