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de rayon i (plans parallèles comme on sait). Les deux développables A' et t', 

 engendrées par P' et p' lorsque M et m décrivent respectivement une ligne C 

 et son image sphérique, sont homothétiques . 



•» La proposition réciproque est vraie. 



» Comme conséquence, les deux développables A' et A', correspondantes 

 dans deux surfaces S et S, qui ont même représentation sphérique, sont 

 aussi homothétiques. 



1) Le centre I de la sphère i et le centre de la sphère de rayon i, sur 

 laquelle on a pris la représentation sphérique, sont deux points homo- 

 lo£;ues dans l'homothétie qui fait correspondre les deux développables A' 

 etV. 



» Il résulte de là que, si l'on mène par le point I une parallèle à la nor- 

 male en M à S, et si l'on prend son point de rencontre H avec le plan 

 osculateur F' relatif à ce point M, la longueur IH reste constante lorsque 

 M décrit C. Inversement, on pourrait de cette proposition déduire la pré- 

 cédente. 



» En particulier, si la longueur IH (variable avec C en général) est 

 constamment nulle, les plans P' relatifs à tous les points d'une même 

 courbe C passent par le point I. Chaque développable A' est alors un cône. 

 Ce cas particulier est réalisé quand les sphères q coupent la sphère II sous 

 un angle droit. 



» Ces propositions se modifient naturellement lorsque la sphère 1 est 

 remplacée par un plan H, le point I étant alors rejeté à l'infini. A la pro- 

 position (P) il faut substituer la suivante : 



» (y). Chaque développable §' relative à la représentation sphérique est alors 

 un cône. 



» Mais on sait (loc. cit.) que cette représentation sphérique particulière 

 convient aux surfaces à lignes de première courbure sphériques. 



» La propriété (y) est donc caractéristique de l'image s|jhérique des sur- 

 faces à lignes de courbure sphériques dans un système. 



» D'ailleurs, on sait aussi (ibid.) que, si une surface admet des lignes 

 de première courbure sphériques, on peut la regarder comme étant une 

 surface (S), en associant à chaque ligne C une sphère 1 quelconque prise 

 dans un faisceau convenablement choisi. Parmi ces sphères 1 il en existe 

 une pour laquelle l'angle e est droit, de sorte que la développable A' est 

 également un cône. 



» Le cas où la développable S' est un cylindre et où, par suite, toutes les 

 développables A' relatives aux surfaces admettant celle représentation (T) 



