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établie récemment par M. Miller (^Comptes rendus, février igoS). Mais la 

 démonstration actuelle fournit les équations de ^, qui s'écrivent en adjoi- 

 gnant à celles de X■^_^ (tu) prises sous la seconde forme 



c'- = (ca)- =; i^cby := I 



{cL Journal de Malhèmaliques, 1902, p. 267). 



» Si ^r = i(77 — i), g <"st nécessairement 0(2, 7:), sauf si r = ■y, auquel 

 cas il y a un seul autre type'Ç>(7). Les équations de t)(2, tc) s'écrivent en 

 adjoignant à celles de Jl>^_,(':u) les suivantes, cè,-pc = i_,f caPZ'_,f, p par- 

 courant une série de valeurs mod. (77 — i) telles que les équations répon- 

 dant aux valeurs restantes résultent du système. 



» Si -JT = 2" — I = /? et ^ = I , ç coïncide avec Xpi^ 2"). Si - := 2" — i = ^ 

 et ^ = n, ç a une forme unique '<i'(p), sauf si /? = 7, auquel cas Q peut 

 encore être 0(2, 7). '<?(/>) est un groupe résoluble contenant normalement 

 X,(2") dont il divise l'holomorphe et a pour équations celles de ^^(2") 

 (prises sous la première ou la seconde forme) jointes à c^ = i, câc = a'\ 



Cb ^ bc(b ::^ b,). 



» 2. Dans aucun groupe transitif 5e de degré tc + 2 le diviseur fixant un 

 symbole ne peut être 0(2, r) ni ^(2,7:). Si ce diviseur est '9(yo), X est 

 nécessairement le groupe des automorphismes de 4^(2, 2") et ses équations 

 s'écrivent en adjoignant à celles de -(^(2, 2"), d" z= 1, d~'ad =. a' , db = bd, 

 de = cd. 



» 3. Un groupe d'ordre 77(7:* — i) dont un des groupes facteurs 

 est 13(2,7:) n'a que trois formes possibles : 4^(2, 7r); le produit direct 

 de 0(2, 7k) par un groupe d'ordre 2; U(2, 7ï) qui est défini par les équa- 



-1 it— 1 



tions de u(2, 7:) où l'on remplace a ^ =1 par a '' = rf et auxquelles on 

 adjoint ^/^ = i , db/, = bf,d, de = cd. 



» 4. Ainsi se trouve établi, indépendamment de la théorie des carac- 

 tères, ce théorème de M. Frobenius, que les seuls groupes de degré p, 

 ayant p -f- I sous-groupes d'ordre />, sont 4^(2,3), «(2, 5), '0(i, -j), 

 t3(2, II) (')• " 



(') Je profile de l'occasion pour signaler une inadvertance qui enlève toute valeur 

 à la seconde partie de ma Noie du 6 octobre dernier. M. Schur a d'ailleurs publié 

 depuis {Sàz. Akad. BcrL, octobre 1902) une démonstration élémentaire d'un 

 théorème plus général de M. l'robenius. 



