SÉANCE DU 6 JUILLET igoS. 89 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions fondamentales de M. Poincaré 

 et la méthode de Neiimann pour une frontière composée de polygones 

 curvilignes. Note de M. S. Zarejiba, présentée par M- Poincaré. 



« Considérons la fonction /(s) de la variable z définie par l'équation 

 suivante 



dt. 





» Cela posé, rapportons le plan à un système de coordonnées rectangu- 

 laires, désignons par r la distance de deux points {a, h) et {x, y) et con- 

 venons d'appeler potentiels logarithmiques généralisés de simple couche et 

 de double couche, les fonctions déduites des potentiels h)garithmiques 

 ordinaires de simple couche et de double couche par la substitution de la 

 fonction /([^,r), où p. représente un nombre réel et positif, à la fonction 

 logr. Ces potentiels logarithmiques généralisés seront des intégrales par- 

 ticulières de l'équation 



d"- u ()'- Il 



T-- -^ T^ — y-'" = *'• 



oa- ay- ' 



intégrales qui, dans la théorie de cette équation, joueront le rôle des poten- 

 tiels logarithmiques ordinaires dans celle de l'équation 



0' u d"- u 



» Ces remarques faites, on étendra aisément la théorie que j'ai exposée 

 dans mon Mémoire : Sur l'intégration de l'équation Au-hlu = o (Journal 

 de Mathématiques pures et appliquées, 1902), et dont j'ai résumé les résul- 

 tats dans ma Note, présentée à l'Académie le 24 juin 1901, au cas de deux 

 variables indépendantes, quitte à y apporter de légères modifications néces- 

 sitées par ce fait qu'un potentiel logarithmique ordinaire de simpl^e couche 

 représente une fonction harmonique qui, en général, n'est pas régulière à 

 l'infini. Il en est ainsi, à condition, cela va sans dire, de maintenir l'hypo- 

 thèse d'après laquelle l'angle formé par les normales élevées à la frontière 

 en deux points quelconques est inférieur au produit d'une constante fime 

 par la distance de ces points. Dans quelle mesure est-il possible d'étendre 

 Tes théorèmes énoncés dans ma Note du il\ juin 1901 au cas où U frontière 



