SÉANCE DU l3 JUILLET igo3. Io5 



solution fondamentale revient à poser 

 (i6) p=2, U = i, V'=-^^ (V). 



» V. On aurait pu le prévoir, même pour le cas général de deux coor- 

 données a; el y. Car, dans le problème à l'occasion duquel se sont présen- 

 tées les équations précédentes, les petits écarts, p. les plus simples qu'on 



(') A une troisième étude, je m'aperçois, en introduisant y] au lieu de ?, comme 

 variable, dans l'équation différentielle (i4)i ainsi devenue 



que les autres racines p sont également des nombres entiers et, les autres fonctions U, 

 également des polynômes en r,. L'expression générale de ceux-ci est, à part un facteur 

 constant. 



(«') '-+- TTTâT^'"-^ 7772^ r77r;^."-+-TToT T7:5T '-TT^^ 



Zi^.3 , /(^ /(3),c , /(o)/(3) /(6) 

 cf(3) ' '^ 0(3) «(6) ' "^ <p(3) o(6) <p(9)' 



où les deux fonctions /, o sont elles-mêmes les deux polynômes 



(6) /(X) = 2X^-H7X-3(P-2), '^(X) = 2(X2+2X), 



et où les racines p successives s'obtiennent en posant /(o) = o, /(3) = o, /(6) = o, 



/(9) = o> • • •. c'est-à-dire 



2 X- + " X 

 (c) P = 2 H '' ' , avec X multiple de 3. 



Pour la deuxième solution simple, celle qui nous donne la formule asymptotique 

 des écarts, on a donc 



{d) P'=i5, U = i-— T)^. 



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La seconde estimation (i3) attribuait à p' presque la même valeur, savoir 



1 ,7100 X 9 =: lâjBg. 



Quand |3 reçoit des valeurs autres que (f), l'expression {a'), toujours intégrale de 

 l'équation différentielle {a), devient une série, convergente de fj = o à = 1, mais 



dont la dérivée grandit, près de t) = i, à la manière de (i — f)^)"-'; en sorte que le pro- 

 duit de cette dérivée par y/i — r,^ ne peut pas y tendre vers zéro comme l'exigerait la 

 condition relative à cette limite. 



Si la condition concernant l'autre limite tj =0 n'obligeait pas le produit tj^U à s'annu- 

 jer avec ■r\, l'équation différentielle («) admettrait une seconde intégrale en-série, savoir 



(e) ■ I /(-^) , I /(-2) /(!).., /(-2) /(i) /(4) 



^ ^ v^ TÔT^'^'-TÔT TÛT" ^ --^î^- ,û) ^''^■■■- 



