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puisse imaginer, d'avec une première forme se conservant. 



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consistent dans l'excédent, sur cette première forme A„, d'une autre infini- 

 menl voisine se conservant aussi, et obtenue par une variation infiniment 



petite <5- du paramètre -• Il vient ainsi, comme écarts ^, l'expression 



- + n S-; ce qui donne e proportionnel à - — V7^' ^''' comme cette 



formule a même signe dans toute l'étendue de la nappe, elle constitue bien 

 la solution fondamentale ( ' ). » 



(') Une généralisation analogue s'étendrait-elle aux autres solutions simples? Il est 

 aisé de voir que non, du moins en général. Car V, fonction de deux variables x et y, 

 ne peut dépendre de la variable unique Ç, que dans l'expression, tout au plus, d'écarts 

 initialement fonctions de Ç seul, comme, par exemple, quand les deux formes, l'une, 

 se conservant, l'autre, un peu altérable, de la nappe sont de révolution autour de l'axe 

 des z, avec des coefficients K, \]. fonctions de la distance /• à l'axe. 



Effectivement, multiplions par Ç^ l'équation indéfinie en V, 



et retranchons-en le produit, par V, de l'équation indéfinie en t, 

 11 vient, en appelant encore U le quotient de V par Ç- : 



Cela posé, si U varie uniquement avec Ç, les deux produits K^'-r- -s'écriront 



^ , - d{jr,y) 



^3 j _ — — — ; et cette équation (i^), développée en y utilisant (/), sera 



Or, elle ne devient une équation différentielle en U et ?, dans le genre de [a), que 

 si l'équation (/) en l, admet une intégrale première reliant explicitement — (Ai')^à t. 



Par exemple, dans le cas d'une nappe de révolution, où K, [>., 'C dépendent seulement 



de r ^=^ \J x^ + y"^ , cas où l'équalion (/) est 



« d (.. ^dl\ 1 d{K 



- -j-iKrl-j- ou - ' 

 /■ dr \ dr I r 



^^ii^=-,r, ./.(K,-u.O--(H.lv.^)<^(^)' 



une telle intégrale première ne paraît exister que si l'on a, tout à la fois, |j.K/-^=: const. 



