Il4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Les équations (5) signifient que les éléments linéaires (2) et (2') se 

 correspondent géodésiquement; on en conclut de suite, d'après les résul- 

 tats de Dini, que l'on peut prendre pour (2) une des trois formes : 



( ■^^ ds- = Li"(V///- + f/<;^) surface de révolution, 



(8) ds- = 2(Vh -+-Y,)diuh' forme de S. Lie, 



(9) ds- = (« — (■) (V-du-~hY^di'-) forme de Liouville, 



et pour (2') les formes correspondantes bien connues. 



» Il suffit alors pour achever le problème de satisfaire aux équations (G) 

 qui se réduisent à la suivante : 



(i3) ail = U,f\ 



» Considérons d'abord la forme (-). I/oquation (i3) est alors une 

 équation différentielle ordinaire qui s'intègre aisément : on trouve, pour 

 l'élément linéaire (lo), les quadriques de révolution les plus générales, 



(10 ) as, —- — — tt:. ^ h L-«('-. 



» L'élément linéaire (7) peut s'écrire sous la forme 



( 7 ) ds- = 5 '—^ 3 h 9- rt(- . 



Si c ^ o, l'élément linéaire (10') convient à un parabolouie de révolution ; 

 par conséquent, on saura habiller de toutes les façons possibles l'élément 

 linéaire 



(7") ds^-=--4^-^o\h'\ 



» Dans le cas général, l'habillage de (7') est un problème équivalent à 

 la déformation de la sphère. 



» Considérons maintenant l'élément linéaire (9); l'équation (i3) est 

 alors une équation fonctionnelle qui s'intègre aisément : on trouve pour (i 2) 

 la forme classique de l'élément linéaire des quadriques et pour (9) 



du- r/i- 



(9)' ^f<-=[{ 



I I 



II 



_(„_a)(«-S)(«-j) (,.-a)(r-a)(r-j) 



Par conséquent l'habillage d'un élément linéaire de la forme (9)' se 

 ramène à la déformation d'une quadrique et inversement. Ceci nous per- 

 met de signaler des éléments linéaires que l'on saura habiller de toutes les 



