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Elle admet deux solutions particulières, en série, de la forme 



(12) U= kr,^ + Br,''+' -f- Cr,^-^" + Dr'+" -+-..., 



avec coefficients A, B, C, D, ... fonctions de J/. Si l'on pose, en effet, 



(13) 9().,i) = 2A(A + H-v), F(A,6) = A(2l + 5 + 2i). 



la substitution d'une telle série (12) dans (1 i) conduit, par l'identification 

 des termes semblables en r. dans les deux membres, d'abord, à prendre 



(ri) o(a,i)=o, c'est-à-dire a = soit zéro, soit — i — 6. 



et, ensuite, à établir, entre les fondions A, B, ('., ... de i, le système 

 d'équations différentielles linéaires 



1 9(a+3,i)B = F(>,i)A -mi-'L)A', 



c,5N ' o(x + 6,J;)C = F(a^"3,':)B-3ô(i-4')B'. 



' p(;7.^9.f)D^ F(a + 6, '^KJ- 3-Xi--'^)C', 



1) Mais celle des deux séries où a = — 1 — y rend indépendant de r, le 

 premier terme de l'expression correspondante (8) de e. Par suite, la con- 

 dition, £ = o, relative à la limite r, = o, oblige à y annuler A, puis B, C, 

 D, ... en vertu de (i5); et il ne reste, pour exprimer u, que l'autre série, 

 où a = o. L'on y aura F(«, J/) =; o. 



» VI. D'autre part, la relation concernant la seconde limite r = i re- 

 vient à annuler, à cette limite, le produit de \Ji — r,' par la dérivée en r, 

 de la série subsistante. Or le cas particulier, déjà traité, d'une nappe à 

 fond plat où X- est infiniment petit, et qu'on retrouverait ici comme cas 

 limite en étudiant la fonction u au voisinage de kz = o, c'est-à-dire 

 dei =r I, montre que cette dérivée devient comparable à l'inverse même 

 de V 1 — r/ , à moins qu'on ne réduise la série à un simple polynôme, par 

 l'annulation de tous ses coefficients venant après l'un r/uelconque d'entre eux. 

 Il faudra donc réduire aussi le système (i5) soit à sa première équation, 

 en posant B = o, soit aux deux premières, en posant C =0, soit aux 

 trois premières, en annulant D, etc. 



» Dans le premier cas, il vient A'=o, ou A = m = const., et la for- 

 mule (8) redonne la solution simple fondamentale l'j). 



» Dans le second cas, à traiter pour avoir, comme on sait, l'expression 

 as%mptotique des petits écarts, les deux premières équations (i5) de- 



