SÉANCE DU 20 JUILLI'T igoS- l57 



viennent 



n Et elles donnent (à un facteur constant près), vu qu'on peut y annuler, 

 pour A = o, A en même temps que B, si l'on fait abstraction de la solu- 

 tion simple précédente // =-- const. (déjn trouvée) : 



(17) 1> = H-Tî' A = 2/ ^-f-^ — , ',,, fi'h. 



(' — '->) .,'„ (i — 'I') 



11 Pour les petites valeurs du produit /{-, alors que •l est à peine infé- 

 rieur à I (île Xt). les deux coefficients B, A sont très grands, de l'ordre 

 de (1 — Yy " et, par suite, l'expression (8) de s l'est, elle-même, de 

 l'ordre de (r — <J>)^'*, comme l'indiquait implicitement la deuxième racine, 

 P':= i5, obtenue dans ma dernière Note. Mais, ici où /c n'est pas nul et où 

 <li tend vers zéro à mesure que - grandit, B et A finissent par être sensible- 

 ment — <li" et 7'',({'"- On voit donc que les écarts '(^"^1 donnés par (8) 

 s'évanouiront comme ij/'-, alors que la partie régularisée i^T de h est, 

 d'après (4), Z,k'li, ou décroît comme ii. Ainsi les écarts s'atténueront 

 comme le fait la douzième puissance de la partie réglée et, par conséquent, 

 incomparablement plus vite que celle-ci. C'est bien dire que la solution 

 régulière est encore stable. 



« VII. Pour la i'™* solution simple, le dernier coefficient, que j'appel- 

 lerai I, du polvnome (12) résulterait de l'équation 



— •'— (/, — 1)— —^; d ou 1 = 



» Or un calcul simple montre que, dans cette solution spéciale, le 

 coefficient précédant I et, de proche en proche, tous les autres jusqu'à A, 

 sont, aux deux limites 'i = i et <!/ ^ o, des mêmes ordres, soit de gran- 

 deur, soit de petitesse, que I, comme on l'a vu déjà ci-dessus pour A, dans 

 les formules (17). 



» Celte expression particulière de u est donc, quand i tend vers i , de 

 l'ordre de grandeur de la puissance (/ — i) (6? -1- 1)""* de l'inverse 

 de I — (]^ et, quand i tend vers zéro, de l'ordre de petitesse de la puis- 

 sance {i — i) (Gi - i)"""" de 6. 



» Ainsi, quoique les coefficients de l'équation indéfinie varient mainte- 

 nant avec le temj)s t, de véritables solutions simples continuent à exister, 

 encore distinguées les unes des autres par leur rapidité de variation el, en 



