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triques avec plusieurs argumenls proportionnels, Dorpat, i8g'3. Voici le pro- 

 blème résolu par iM. Bohl : 



n A quelles conditions une fonction t( () définie pour toutes les valeurs 

 réelles de t est-elle développable en série uniformément convergente 



(l) U, -\- U.,-i- ... -j- U^~h ... 



dans laquelle u., est un polynôme entier en 



sin 2 7: — cos 2-7: — (a = i , 2. ... ,ot)? 

 On peut toujours supposer, bien entendu, qu'entre les nombres 



n'existe aucune relation linéaire homogène à coefficients entiers, le cas où 

 il n'en est pas ainsi se ramenant exactement à ce dernier. M. Bohl trouve 

 comme condition nécessaire et suffisante celle-ci : | /('-t-"^)— ./(')j tloit être 



infiniment petit lorsque 7^' — ' ••■' 7— diffèrent infiniment peu de nombres 



entiers. 



» A la forme de la définition près, les fonctions '\i(t) ainsi obtenues sont 

 les fonctions que j'ai appelées quasi-périodiques. J'ignorais entièrement ces 

 recherches de M. Bohl ; je tiens à lui restituer la priorité qui lui est due, 



X Poursuivant un but un peu différent de celui de M. Bohl j'ai été amené 

 à étudier l'ensemble des périodes oc qui, vis-à-vis d'une même fonction 

 quasi-périodique/(a-), peuvent jouer le rôle attribué à a,, a^, . . ., a,„, et 

 j'ai été conduit ainsi à définir exactement Vordre périodi'pie et le corps des 

 périodes attachés à la fonction f(x). Relativomenl à l'ordre de périodicité, 

 j'ai établi quelques résultats sur les fonctions de fonctions simplement 

 périodiques, notamment le théorème suivant : 



)) Soit F(Uf,u,,..., u^,) une fonction des variables m,, w^, . . . , «^,, qui n est 

 constante par rapport à aucune de ces variables. Si l'on remplace u,, u^. ■ . ., u^ 

 par les fonctions périodiques non constantes u,(x'), u.,(a-), .... Uj,(.x) dont 

 les périodes respectives a,, a^, . . ., ap sont indépendantes, la Jonction quasi - 

 périodique 



/(a;) = F[//,(a;), u.,{x) Up{x)] 



est exactement d ordre p. 



