SÉANCE DU 3 AOUT igoS. 3o7 



» J'ai étudié ensuite les développements en série des fonctions quasi- 

 périodiques en recherchant surtout des développements caractéristiques 

 uniques pour chaque fonction. Outre le développement (i) qui sert de 

 définition à M. Bohl, mais qui n'est pas unique, il est clair qu'on peut, 

 sous certaines conditions analogues aux conditions dites de Dirichlet, dévt_- 

 lopper une fonction quasi-périodique/(a-) en série de la forme 



COS-IT.X [ — ■+...-] 



a, 



■ m.,. ...,„ sin27Ta; -- ' ' ' 



a 



développement unique et uniformément convergent si/(.x) est continu, et 

 si «,, «j, . . ., ttj, constituent une base minimum de périodes. 



» Enfui, sous d'autres conditions en général remplies, j'établis qu'une 

 fonction quasi-[)ériodique est développable en une série uniformément 

 convergente 



dans laquelle le terme général Sa (a;) est une fonction simplement pério- 

 dique. Les ])ériodes correspondant aux: divers termes de la :iérie sont 

 incommensurables deux à deux et appartiennent au corps des périodes. 

 De plus, ce développement, s'il est possible, ne l'est que d'une manière, 

 et enfin une fonction quasi-périodique continue quelconque peut toujours 

 être représentée avec une approximation donnée e par une série de cette 

 forme. 



» Les termes Sa(icj peuvent èlre calculés de plusieurs manières, dont 

 l'une est basée sur cette propriété très importante que, si /('■) est une 

 fonction quasi-périodique, la cjuantité 



J, \J{^) ^ A^' -I- ^0 +•• --^/[-^ H- (« - y)h] I 



a une linule pour ti luliui, et ceia quels que soient x et h. Celte limite est 

 une constante si h est extérieur au corps des périodes. Celte jiropriété 

 paraît d'ailleurs caractéristique, mais s'applique au cas plus général où 

 l'ordre de périodicité est infini. Elle est susceptible d'une application 

 curieuse, en permettant de donner aux moyennes calculées dans les obset- 

 A'ations météorologiques une interprétation précise. « 



