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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fondions de n variables représentées par 

 des séries de polynômes homogènes. Note de M. H. Dulac, présentée par 

 M. P. Painlevé. 



« La théorie des séries de Taylor et de Mac-Laurin à plusieurs variables 

 présente, dès ses débuts, une importante lacune qui a été signalée par plu- 

 sieurs mathématiciens ('). Pour nous borner au cas de deux variables, soit 



(i) ¥{x,y)= 2^f,Xx,y)= 2à^a„^,,x" + a„_,^,x"-' y + ...+ a„_„y") 



une série de polynômes homogènes. Dans les théories classiques, on sépare 

 chaque terme yj, en ses éléments et l'on considère la série double : 



(2) ^ap,,xPy'^. 



Si cette série (2) converge absolument pour x = a;„, y =-- y^, elle converge 

 absolument dans le domaine | ic } < | a:-„ |, | J' | <C y^, et représente, dans ce 

 domaine, une fonction analytique et holomorphe de x, y. D'où une suite 

 de conséquences classiques. 



» Mais si on laisse intacts les termes de la série (i), que peut-on dire sur 

 la convergence d'une telle série et sur la fonction qu'elle représente? En 

 |)articulier, si une série (^i) converge uniformément pour toutes les valeurs réelles 

 de x, y suffisamment petites, converge-t-elle pour les valeurs imaginaires et 

 représente-t-elle une fonction analytique de x, y, holomorphe pour x = o, 



7 = o?(^). ..,..■ 



» L'aifirmative paraissait très probable; mais il n'en existait pas de 



(') Voir une iVote de M. l^ainlevé {Comptes rendus, 2" semestre 1899, p. 27). 



(-) En dehors de son intérêt général, la question se pose dans des applications ira- 

 porlaules. Par exemple, dans sa discussion des équations diflérentielles du premier 

 ordre (théorie des centres), M. Poincaré établit la convergence uniforme d'une certaine 

 série (i) pour ic, y réels et petits. Mais la fonclion F(x, j) ainsi représentée est-elle 

 sîirement holomorphe pour x = o, y=:o? C'est un point de rigueur qui restait à 

 trancher. En réalité, la démonstration citée de M. Poincaré établit la convergence 

 dans un domaine D bien plus étendu que le domaine réel voisin de l'origine, mais ce 

 domaine D ne comprend pas l'ensemble des valeurs complexes de x et de y voisines 

 de zéro. 



