SÉANCE DU 3 AOUT igoS. 3o9 



démonstration rigoureuse. J'ai pu établir cette démonstration : une série 

 dont les termes sont des polynômes homogènes, à un nombre quelconque de 

 variables, définit une fonction holomorphe dans le voisinage de V origine, à 

 condition que cette série soit uniformément convergente dans le domaine D 

 formé par l'ensemble des valeurs des variables réelles et voisines de zéro. Ce 

 théorème reste vrai, même en supposant le domaine D bien moins étendu. 

 Par exemple, la série (i) définit une fonction holomorphe pour x = y ^ o, 

 si cette série (i ) converge uniformément pour x et y coordonnées des dif- 

 férents points d'un arc de courbe (autre qu'une droite passantpar l'origine) 

 tracé dans le plan réel xoy. 



» Lkmme. — Si un polynôme f(^x^, x.,, ...,x^) homogène ou non, de 

 degré au plus égal à npar rapport à chacune des variables, reste inférieur en 

 module à un nombre M, lorsque les aj/ixes des variables x^, x.,, . .., x^ occu- 

 pent, chacune dans son plan, toutes les positions possibles, respectivement sur 

 des arcs de courbe C,, C,, . . ., C^, les coefficients du polynôme sont inférieurs 

 en module à MX"; \ ne dépend ni des coefficients du polynôme, ni de son 

 degré, et ne dépend que des arcs C,, C.>, . . ., C^ considérés. 



» Avant d'établir le cas général, je considère les deux cas particuliers 

 suivants : i° un polynôme /(a?), de degré n, reste inférieur en module 

 à M, lorsque x est réel et varie entre o et i ; 2° le module def{x) reste 

 inférieur à M, quand x décrit un arc de courbe C. 



» Théorème. — La série F =; lf(x^ , x.^, . . ., x^), dont les termes sont des 

 polynômes homogènes de degré égal à l'indice, définit une fonction holomorphe 

 pour x^^ x,^...^= x,j^= o, sila série F est uniformément convergente lorsque, 

 x^ ayant une valeur fixe, les ajfxes de x^, x.^, . . ., a'^ , occupent, chacune 

 dans son plan, toutes les positions possibles respectivement sur des arcs de 

 courbe Ci, C2, .-., Cq-t- » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales de S. Lie. 

 Note de M. N. Saltykow, présentée par M. Appell. 



« Les considérations que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie con- 

 cernent les critiques sur les intégrales de S. Lie. Soient les 2« -H i variables 

 X,, X.,, . . ., x„, z, Pi, p.-,, ...,/?„ vérifiant la relation différentielle 



( I) dz =p,dXi-i- p., dx.;, + . ..+ pn dx,„ 



liées par une équation 



(2) F(x,,x.,, ...,x,„z,p,,p., ,p,,) — o, 



c. R , 1903, 2* Semestre. (T. CXXXVII, N» 5.) 4' 



