SÉANCE DU 3 AOUT igoS. 3ll 



quelesfonctionsFj.F,,..., F„ sont les intégrales de l'équation linéaire aux 

 dérivées partielles d'une fonctiony" 



i^._H^ + [n,/] = o. 



OU Lien les n — y dernières équations (4) sont les intégrales du système 

 canonique généralisé, correspondant à l'éqnation (.5). 



» Il y a donc une analogie entre les problèmes de Jacobi, pour la 

 recherclip des intégrales complètes de Lagrange et de S. Lie concernant 

 ses intégrales. Or, les intégrales de Lagrange existent dans un certain 

 domaine. Quant aux intégrales complètes de S. Lie, elles n'existent que 

 pour des équations d'une forme toute particulière ('). 



» Par exemple : Pour admettre une intégrale complète de classe /i — i, 

 l'équation { 2) doit être linéaire par rapport à p,, p.,, ..., p^ou indépendante 

 de ces dernières variables; pour avoir une intégrale complète de classe n, 

 l'équation (2) doit être indépendante de toutes les variables p. 



» Eniin, pour admettre une intégrale de classe q, l'équation (2) doit satis- 

 faire à la condition que les n — q équations (\) quelconques, la première y 

 comprise, étant résolues par rapport àp,, p^, ...,p„-g, deviennent linéaires pur 

 rapport à toutes les variables p. 



Il Le fait constaté introduit un désaccord dans les considérations tradi- 

 tionnelles sur la généralité des notions de S. Lie. Car ce n'est que pour 

 des équations exceptionnelles qu'il y a à considérer, outre les intégrales 

 complètes classiques, encore celles de S. Lie. De plus, il y a encore à noter 

 que, en liant les variables x,, a:^, . . ., .»„ par des relations, on modifie le 

 caractère primitif des équations aux dérivées partielles, en leur substituant 

 de nouvelles relations obtenues par S. Lie, comme résultat de certaines 

 éliminations. 



» Cependant, on lie intimement les recherches de S. Lie à la théorie des 

 équations aux dérivées partielles. Or, après tout, ce point exige bien des 

 réserves. Une intégrale complète de S. Lie étant un système des intégrales 

 des équations canoniques, on conçoit manifestement que i'éminent géo- 

 mètre ne traite, en réalité, que de la théorie des équations canoniques. En 

 effet, toutes ses méthodes d'intégration ne cherchent qu'à associer les inté- 



(') Gel érainenl géomèlie s'en est occupé en 1898 dans son Méaioiie : Uebr 

 Beruhrungslransforinationen und Diffeienlialgleichungen {DericItLc u. cl. v. d. 

 /c. s. Gesel. der ]\ is., Leipzig). 



