SÉANCE DU 17 AOUT l9o3. 4oi 



CORRESPONDANCE. 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur le rapporl des travaux de S. Lie à ceux 

 de Liuuville. Noie de M. N. Sai.tykow, présentée par M. Appell. 



« Dans la Noie qui va suivre, je reprends les résullats obtenus dans 

 ma Note précédente sous un point de vue plus général appartenant à J. 

 Liouville. 



>i Considérons l'équation 



(i) p, -+-H(a-,,a-, ,x^,p,,pj /?„) = 0, 



et le système canonique correspondant 



(2) ~-/^ = , -5^= î (r= I, 2, .. .,/2 - i)- 



» On simplifie le problème si, au lieu d'une intégrale complète de S. Lie 

 de classe c/ pour l'équation (i), on ne considère que n — i intégrales en 

 involution du système (2) 



(3) FJx,,x.,, ...,x„,po.,p3, .. ■,pa) = /-', (5=1,2 n — i), 



donnant q relations liant les variables x,,x.., .... x^. En effet, la n'"^' équa- 

 tion contenant la variable z, dont l'ensemble avec les équations (r) et (3) 

 représente l'intégrale de S. Lie, s'obtient par une quadrature ('). 



(') Supposons, en effet, que les équations (1) et (3) donnent 



a.-„_,+,= 'i,(x,, j:-2, . . .,x„_,, Z>,, b,. . . ., 6,,^,) ((•=:[, 2, . . .,q), 



Pk = ^k{-ei, Xi, . . ., x„_,„ pn-q^u /'«>*!. • • •' ^«-1) (^=1,2, . . ., n - /-/). 



On voit aisément que les fonctions 'l'A- ont la forme suivante 



les fonctions A/^. vérifiant les relations 



<^A,- ^ ÔK, 

 dxt dxi. 



