4o4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Or, il est ici nécessaire de constater Iç fait que la priorité de traiter 

 des intégrales en question revient à J. Liouville, qui a démontré l'impor- 

 tant théorème suivant : 



» Étant données n — i intégrales en involution quelconques du système 

 canonique (2), son intégrale générale s'obtient par une quadrature. 



» Effectivement, dans son article : Noie sur l'intégration des équations 

 différentielles de la Dynamique présentée au Bureau des Longitudes le 

 ■2g Juin i853 (Journal de Liouville, t. XX, i855, p. 137), en donnant les 

 formules relatives aux intégrales(3) résolubles par rapport à. p.,, p^, . . -, p,n 

 J. Liouville annonce que, dans ses Leçons au Collège de France, il a donné 

 de longs développements sur la même question pour le cas où la der- 

 nière condition n'était plus satisfaite. Ce point important est étudié dans la 

 Thèse de A. Lafon : Sur l'intégration des équations différentielles de la Méca- 

 nique; Paris, 1854. Les résultats en question s'interprètent aisément 

 comme il suit : Les équations (3) étant résolubles par rapport à/70,^3, ..., 

 />« y. ^n-ç+i. ••■, a',,, mettons le système (2) sous la forme d'un nouveau 

 système canonique 



I Cij\ dpi; Ctj\ ÔXn-,,^i 



(4) 



(X-=2,3, ...,n — q). 



^. ^ _ an ^ d.v„_,+i ^ àH (i = i,n, ...,q). 



dx^ àxu dxi d{— p„-q+i) ^ 



» En vertu des équations (3), formant de même un système des inté- 

 grales en involution par rapport au système (4), la relation 



f/s' = /j, dx^ -I-.. .-\-pn-iidXn_,i— x„_^+, dpn_^^^—...— x„dpn 



est une différentielle exacte, dont l'intégrale s'obtient par une quadrature 



Z = \(X 1^, X2, • . ., >3?,;_y, /J„_y+| , . . ., P,t, Of, «2' • • •■> ^>l-i ) '^ ^n' 



pour tous les indices A, / de i à 11 — q. 11 en résulte donc immédiatement que Tintégrale 



n-,j 



\/,.dx/,~i- b„, 



-f^ 



h„ étant une constante arbitraire, jointe aux équations (3), définit l'intégrale com- 

 plète de S. Lie en question. 



