SÉANCE DU 17 AOUT rpoS. /jog 



» Ayant complété depuis en certains points mes résultats, je me permets 

 d'en donner ici un court résumé. 



» Soient n variables réelles £,, ^j, ..., ç„ assujetties à appartenir à un 

 domaine E, borné, parfait et mesurable; soit/(Ei, i-i, ■••, ^„) une fonction 

 réelle de E,, Eo, ..-, E« ayant une valeur bien déterminée pour tout point 

 (El, ••., E„) à l'intérieur de E et qui est bornée et intégrable pour tout 

 domaine parfait et mesurable E' intérieur à E et sans point commun avec 

 sa frontière. Supposons, de plus, l'existence de l'intégrale définie généra- 

 lisée Se/(E), e,, ..., 'in)de dans le sens de M. Jordan ( ' ). 



» Cela posé, soient « autres variables réelles a,, y..,, ..., a„ assujetties à 

 recevoir toutes les valeurs réelles possibles et désignons par D le domaine 

 infiniment grand constitué par tous les points (a,, ao, ..., a„) ; D sera, en 

 d'autres termes, l'espace à n dimensions. Désignons ensuite par DE le 

 domaine à in dimensions constitué par l'ensemble des valeurs de a,, a^, 

 «3, ...,a„, E,, i.., ..., E„. Enfin, soit r une quantité non négative, définie 

 par la relation 



A-- = a^ -+- cCj -f- ... + aj;. 



» Cela posé, j'ai démontré d'abord que l'existence de l'intégrale définie 

 généralisée Se/^(E,, E^, . . ., ^n)de entraîne l'existence de l'intégrale définie 

 généralisée suivante, que l'on peut appeler une inlégrale de Fourier- 

 Caucliy (") : 



/2Tt)« i"^ ...t"" " y i^c,,, ç^, . . ., ç„ ;c/c, 



k étant un paramètre réel ou complexe tel que la partie réelle de k" soit 

 positive et x^, x^, ..., x^ ayant des valeurs réelles ou complexes finies 

 quelconques. 



» Dans chaque domaine R, situé dans la partie du plan de la variable 

 complexée, où k- a sa partie réelle positive, l'intégrale existe et représente 

 une fonction analytique régulière de /c. Considérons le cas oi!i le domaine'R 

 est situé à droite de l'axe imaginaire et appelons i{k) la fonction analy- 

 tique de k représentée par l'intégrale. 



M J'ai démontré alors que cette fonction analytique I(i{:) est une fonction 



entière transcendante (ou un polynôme) de t et que, pour toute valeur de k 



(') Cours d'Analyse, t. I el II. 



(^) Voir le Mémoire de Cauchy précédemnifiU cilé, p. 5i2, etc. 



C. R., 1903, 2- Semestre. (T. CXXXVII, N" 7.) 54 



