4io ACADÉMIE DES SCIENCES. 



différente de zéro, l(k) est une fonction entière transcendante (ou un poly- 

 nôme) de chacune des variables x^, x\, . . ., x^. 

 » Au lieu de l'intégrale de Fourier 



SBEe».<^.-*.''. . .e»A-^""7(E,, ?,,..., E„) de 



(2^r 



que l'on obtient en faisant /c — o dans l'inlégrale de Fourier-Cauchy et dont 

 l'existence n'est nullement supposée ici, nous considérerons cette fonction 

 analytique l(k) qui rend dans les applications les mêmes services que l'in- 

 tégrale de Fourier. 



» Cela posé, faisons tendre k vers zéro par valeurs positives. J'ai établi 

 alors avec toute rigueur la ()ropriété suivante, indiquée par Cauchy (') 

 sans démonstration suffisante : 



» 1° Si le point ç, = a?,, t, = x.^, . . ., E„ = -t,, est à l'extérieur de E, on 



aura 



liml(X-) = o; 



» 2° Si, au contraire, ce point est à l'intérieur de E et si de plus la 

 fonction /(;,, ç„, . . ., ç„) est continue en ce point, on aura 



liml(/-) —f(^x,, Xn, . . ., x„). 



A=0 



» Cependant, je viens de voir qu'il y a encore des cas très étendus où I (k) 

 admet une limite; en effet, j'ai réussi à établir un théorème qui comprend 

 comme cas particulier les cas i" et 2°. 



» Introduisons à cet effet la notation de valeur moyenne sphérique 

 de/(^,, Ej, ..., E„)au point ic,,a;j, ...,x„). Soit z' une hypersphère de 

 centre (a;,, . . . , x„) et de rayon e, définie par l'inégalité 



(i, -x,y-^(l,-x,y -+-... +(E„-.r„)= = a=' 



et soitr(^,, L, ..,, H„) une fonction égale à/(;,, L,, ..., ;„)si le point 

 (E,, (^2. •••> ^n) *ist à l'intérieur de E et égale à zéro si ce point est à l'ex- 

 térieur ou sur la frontière deE. Cela posé, l'existence de l'intégrale définie 

 généralisée Se /(;,, I2, ..-, ;„)«'« entraîne l'existence de l'intégrale définie 

 généralisée SïF(E,, ^2. •••. ^n)^e pour tout point (x^, ..., x„) apparte- 

 nant à E ou non. Comme, d'autre part, l'intégrale S^rfe représente l'étendue 



(') Loc. cit., p. 5i4-5i6. 



