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blême revient à intégrer le système linéaire complet formé par les équa- 

 tions (2) et les suivantes 



(4) (<I'm/) = (. = 1,2,. .„[..)• 



» Or comme on le sait, sans connailre les fonctions <!>,, on- forme, sans 

 clifficiilté un système équivalent à (4). De plus, le nombre r -^ q — u. étant 

 pair('), que nous désignerons par 2:, on parvient, par des intégrations 

 successives, à un système complet des « — p équations 



(5) (/../) = « (/t = i, 2,.. .,./), B,(/) = o (.= i,2,..-.,«-y-f), 

 admettant un système complet des n + p iulrgrales indépendantes 



v^) yi' y^» •■•• .A/» J'i'\^ •••' /" /'+! /n+p 



que l'on obtient, dans le cas le moins favorable, par un nombre des 

 rt — <y — [X — p opérations d'intégralion d'ordre 



2« — 2y — 2;J. — 2p, 2// — 21/ — 2;y. — 20 — 2, ..., \, 1. 



» Enfin, on obtient par une quadrature l'intégrale 



(7) = — /,+r,+ ,. 



formant avec les équations (6) le système complet des intégrales du sys- 

 tème remplaçant le svstème (5), quand on considère / comme fonclion 

 des variables x, p et z, les parenthèses de Poisson étant remplacées par 

 celles de Weiler. 



» Les fonctions <î> étant inconnues, nous résumons dans le setd 

 théorème suivant toutes les considérations compliquées de S. Lie, relatives 

 à l'intégration du système (2) : 



» Soient les équations (5) rcsolubles par rapport à -y^, -j^i ■ -, -j^ 



En égalant les fonctions (Ç>) et {']) à des constantes arbitraires h ^, B„ ^,,+p+i, 



(') Pour le démontrer, S. Lie introduit sa théorie de. groupes. Or eelte conclusion 

 devient évrdeiite, en remarquant ([u'un délerininant gauche symétrique peut ne pas 

 s'annuler s'il n'est d'un ordre pair. 



