SÉANCE DU 24 AOUT igoS. 435 



on en lire 



"n^i)\ \ 1 





,^ = i,i'.. 



le dèlerminant fonclionnel 



p/ ?l. ?2. ■■•■ ?p. 'Il, ■^;, ..., 'j/,, 

 V 6,, 62, . ..; ..., /',,, + p" 



cVrt/// dislincl de zéro. Cela posé, parmi les n - q -^- p équations 



/e5 a, ^/a^i des constantes arbitraires, il existe un système de n — q ~ p équa- 

 tions distinctes résolubles par rapport à x^^,, .r,^, x„^^. Les résulta/s 



d'élimination de leurs premiers membres des valeurs b,, b. , è„^ repré- 

 sentent les intégrales requises du système (2). 



» La démonstration de ce dernier théorème se fait d'une manière ana- 

 logue, comme dans la première méthode de Jacobi. 



» Enfin, le système complet des intégrales des équations (2) étant 

 connu, l'intégrale complète du système (i) s'obtient sans difficulté. 



» Le théorème énoncé présente un résultat très important, dont S. Lie 

 a enrichi la théorie des équations étudiées, en indiquant en même temps 

 un cas très|:énéral, quand l'intégration du système (2) s'achève par une 

 quadrature. En effet, il est aisé de formuler le théorème suivant : 



» Le système (2) admettant « + p(p <n - y) intégrales (6), telles que le 

 déterminant correspondant A s'annule, ainsi que tous ses mineurs depuis le 

 premier ordre jusqu'à r ordre n-q-p-i, l'intégration des équations (2) 

 5 achève par une quadrature. 



>) Le théorème de Liouville généralisé (Comptes rendus du 24 juillet 1899: 

 Sur la théorie des équations aux dérivées partielles) iw présente qu'un cas 

 particulier de ce dernier théorème correspondant à p = o; car, dans ce 

 cas, le nombre des intégrales connues se réduisant à n, et tous les mineurs 

 deAs'annulant, il s'ensuit que les intégrales données sont en involulion. » 



