SÉANCE DU 21 SEPTEMBRE igoS. [\'jr) 



Ceci s'étend de suite aux fonctions monodromes, aux environs d'un point 

 critique isolé. 



1) II. L'équation différentielle 



d Y ci Y 



où A, , . . ., A/(4_, sont des polynômes en x à coefficients rationnels, possède 

 k intégrales indépendantes qui sont des fonctions entières d'ordre ^ j ou 



des polynômes. 



» III. Considérons le système 



—-fr — Q'{ { X i + . . . -f- a,„x„, 



OÙ «,,,.. ., a„„ sont des fonctions quasi-entières aux environs d'un point 

 singulier essentiel isolé commun que nous pouvons supposer être l =ca. 



» Si ces fonctions (') a,,. ..., a„„ sont d'ordre au plus égal à celui 

 de e^+i (I ^ i'') pour t = co, ce,, ...,;»„ sont d'ordre de grandeur au plus égal 

 à celui de e^^ n(\t jP"^^) (s positif, fini, aussi petit que l'on veut) pour t ^ co. 



» Si, en particulier, «,,, .. ., rt„„ sont des polynômes de degré au plus 

 égal à zô, ou égales à un polynôme + un terme monodrome et fini pour 



t = cci, on peut trouver un nombre 1 positif tel que |a:, | [a;„| soient 



d'ordre au plus égal à e''"'"'*'. 



« IV. Toute fonction ç quasi-entière pour / = co solution (plus généra- 

 lement toute solution) d'une équation différentielle linéaire homogène, 

 dont les coefficients sont des fonctions quasi-entières pour / = co d'ordre 

 non transfini (k, p), est d'ordre au plus égal à (/t -i-i, p) ou à e^-^^d tf^^)- Si 

 l'équation différentielle a pour coefficients des polynômes, m est d'ordre 

 fini. De même, pour les solutions de la forme x^u^, où 1 = constante et u^ 

 fonction quasi-entière pour t = x>. 



» Dans le cas où les coefficients des équations différentielles de III et IV 

 sont des fonctions méromorphes ayant le point singulier essentiel isolé 

 / r= ao commun, les mêmes propriétés restent vraies en dehors de cercles 



(') Notre procédé de démonstration est une extension d'une méthode de M. Liapou- 

 noff (Picard, Analyse, t. III, p. 362). 



