5l2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ D'"' dénote l'opération plus générale 



d'' 



d"-' 



^n< 



les coefficients A„, A, A„ étant des fonctions de x. 



» Par un calcul tout semblable à celui employé dans ladite Note, on 

 amènera le problème à l'intégration d'une équation 



(3) D("'(P=-0(r+/(a-). 



)) Soient, encore, 0,, 0. 0,„ les racines de l'équation 



(4) «,„-a,„^.f) + a„,_,'J-^-...±0"' = o; 



soit, aussi, [n'],, la solution générale de (3) pour = 6;;.. On s'assurera, 

 comme dans la Note précédente, que dans le cas de m racines distinctes 

 la solution générale de l'équation proposée est de la forme 



(5) 



j^y ^,1 «']/,• 



« D'ailleurs, les coefficients h,, sont donnés par les formules 





< 0. 0; 



[ e„, 0:. 



o;"^' 

 (i"'-i 



M Dans le cas de racines multiples la formule doit être modifiée. La 

 solution générale de l'équation proposée est alors une fonction linéaire des 

 intégrales [w]^. et de leurs dérivées par rapport aux racines de (4). Par 

 exemple, si 0,= 6,_, = ... =0,, on aura 



(6) 



, — 1 Kl 



df)\ 



M Comme les constantes arbitraires dans les fonctions ["'],, 



do, 



f^'^"'^' , ... sont indépendantes, on voit bien que l'expression (6) contient 



mn constantes arbitraires; c'est donc la solution générale de l'équation 

 proposée. » 



