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» 2. Il était essentiel d'approfondir la question plus que je ne l'avais 

 fait précédemment ; j'indiquerai ici la marche suivie dans le fascicule qui va 

 bientôt paraître du Tome II de ma Théorie des fondions algéhnques de deux 

 variables. Dans l'identité ci-dessus, on peut faire disparaître les lignes d'in- 

 fini inconnues de A et B et les remplacer par uil nopibre déterminé de lignes 

 d'infini. D'après un théorème fondamental que j'ai établi antérieurement, 

 on peut tracer sur la surface p — i courbes algébriques particulières 



C,, (jo. .... ^f— 1 



telles qu'il exis|;e une intégrale de différentielle totale de troisième espèce 

 ayant seulement pour courbes logarithmiques une autre courbe algébrique 



arbitrairement choisie et la totalité ou une partie des courbes C,, Co 



Cp_, et de la courbe à l'infini de la surface; de plus cette intégrale n'aura 

 aucune antre ligne d'infini en dehors de lignes du type j = const. 

 » Ceci posé, désignons par 



ft. (^'j) = 0' •••• ^p-<(^'7) = " 



les projections des p — i courbes C sur le plan des xy. On peut alors 

 démontrer que si 



Q 



n 



peut se mettre sous la forme (i), on ne diuiinue pis la généralité en suppo- 

 sant que A ^/ B sont de la forme 



où M et N sont des polynômes en .x et z, à coelficients rationnels en y, 

 s'annulant sur la courbe double; pour y arbitraire, les quotients 



M N 



— o\ — 



o- . <> . 



/r> ' !^ i 



deviennent infinis seulement, à distance finie, sur la courbe C,-. Nous avons 

 ainsi éliminé toute courbe d'infini de A et B en dehors des courbes déter- 

 minées C,, . . ., Cp_, (en laissant de côté bien entendu les courbes du type 

 y =: const.). 



» .3. La recherche théorique du nombre des intégrales doubles de 

 seconde espèce ne présente plus maintenant de difficulté essentielle. Ce 

 problème se ramène à reconnaître si, pour un polynôme Q en x, y et z 



