SÉANCE DU T2 OCTOBRE igoS. 543 



dont le degré est limité, on a 



/'. dx à y 



» Prenons d'abord le cas le plus simple où p = i. Alors A et B sont de 

 la forme 



M et N étant des polynômes en a; et z, à coefficients rationnels en /, s'an- 

 nulant sur la courbe double. 



» Considérons maintenant la courbe entre x el z 



f{x,y,z.) = o, 



renfermant le paramètre y. Nous pouvons former, par des opérations 

 rationnelles en y, un système d'intégrales abéliennes relatives à celte 

 courbe : 



fl,dx, ..., i^ipdx, j i,dx, ..., j i,ndx; 



les ip premières forment un système d'intégrales distinctes de seconde 

 espèce, et l'intégrale 



/ 'ii^dx 



est une intégrale de troisième espèce, ayant comme seuls points singuliers 

 logarithmiques les points à l'infini O, et O,-, avec les périodes logarith- 

 miques + 1 et — I (nous désignons par O,, O,, ..., 0„, les m points à 

 l'infini de la courbe, qui sont distincts au point de vue de la rationalité par 

 rapport à y). Les I et les J sont rationnels en x, y et z. 



» On démontre que l'on peut supposer que B est de la forme 



B = a^ I, -+-. ..+ a.:,pl..p + c.J^+.. .-^ CiJ,„, 



les a et les c étant des fonctions rationnelles de y. Nous avons maintenant 

 à écrire que 



*^^^ /; dy 



est la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle de x, y et z. En 

 exprimant ce fait, on trouve 2p -hm — i relations linéaires entre 



