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et leurs dérivées premières; aucune irrationalité par rapport à y ne s'in- 

 troduit, et ces relations contiennent rationnellement/. Il est alors aisé de 

 montrer que, si l'on peut satisfaire à ce système de ip -\-m — \ équations 

 différentielles linéaires à coefficients rationnels en y entre les a et les c, 



on pourra mettre ^ sous la forme demandée. Or c'est là un problème 

 élémentaire ('). 



» 4. Dans le cas où p est quelconque, la solution repose sur une analyse 

 analogue. Aux fonctions rationnelles I et J, il faut en adjoindre d'autres 

 se rapportant à chacune des courbes C. On forme une intégrale abélienne 



/ Ridx (H, rationnelle en x, y el z) 



relative à la courbe entre x et :;, f{x, y, z") = o, qui a pour points singu- 

 liers logarithmiques le point à l'infini O, et les points de la courbe C, ayant 

 la valeur considérée du paramètre y, avec les périodes logarithmiques + i 

 en ces points et —di en O, (rf, étant le degré de C,). On montre alors que 

 l'on peut mettre B sous la forme 



B = a,I, +. . .-4- ao/,Io^+ Y2J2+. . .-I-Y„,J,„ + Yi,H, -h. . .+ 7ip_,H, 



-t 1 



les a et les y étant des fonctions rationnelles de y et les r, des constantes. 



» On écrit alors, Bayant cette nouvelle valeur, que la différence (2) 

 est la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle de x, y et z. Ceci 

 nous donne 2p-+- m — i relations linéaires entre les a, les y, leurs dérivées 

 premières et les constantes n. 



» Le problème est donc ramené à reconnaître si l'on peut déterminer 

 les constantes •/], de manière que les équations différentielles linéaires pré- 

 cédentes puissent être vérifiées par des fonctions rationnelles de j, pro- 

 blème ne présentant aucune difficulté théorique. 



» En résumé, quand on connaît un système de courbes C, il est possible 

 de reconnaître si une identité de la forme (1) est possible, et par suite de 

 dénombrer les intégrales distinctes de seconde espèce. 



C) li n'esl pas sans inlérèlde remarquer que le problème que nous venons de traiter 

 généralise le problème fondamental relatif à l'existence des intégrales de différentielles 

 totales de seconde espèce (transcendantes). Dans ce problème, Q est nul, ainsi que 

 les c; en suivant la méthode du texte, on forme immédiatement le système d'équations 

 différentielles donnant les a, d'une manière plus rapide qu'à la page i65 du Tome I de 

 ma Théorie des foncLions algébriques de deux variables. 



