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. Si, pour la surface (3), le nombre ? est nul, loute expression de la 

 forme 



^■•^'■^^ . (P polynôme en x et y), 



susceptible de la forme ^ H- j^, peut s écrire 



M et N étant des polynômes en x, à coefficients rationnels en y. 

 » Prenons, en particulier, les surfaces 



où f{x) et F(}') sont des polynômes arbitraires de degrés ap + i et 27-f- i . 

 Sous cette condition que les polynômes précédents ne présentent pas de 

 particularités spéciales, on peut démontrer que l'on a pour la surface pré- 

 cédente p = o, et l'on en déduit que le nombre p„ des intégrales doubles 

 distinctes de seconde espèce est donné par la formule 



» 7. Le résultat précédent peut être inexact dans certains cas parti- 

 culiers. Supposons que f(x) et F(j) soient du troisième degré. On aura 

 bien p» = 4, s'il est impossible de satisfaire à l'équation 



dx , , dv 



(C étant une constante convenable) 



en prenant pour x une fonction rationnelle de y (ne se réduisant pas à 

 une constante); mais, dans d'autres cas, il n'en sera pas de même. P.ir 

 exemple, si les deux polynômes /et F sont identiques, le nombre p n'est 

 plus nul, et l'on démontre que 



Po = 3, 



pourvu toutefois que les fonctions elliptiques correspondant au polynôme 

 du troisième degré /(^) n'admettent pas la multiplication complexe. 



» Les conclusions sont encore différentes si nous sommes dans un cas 

 de multiplication complexe. L^i valeur du nombre p a changé et cette mo- 

 dification a sa répercussion sur la valeur de p„. On trouve alors 



Po=2. 



