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)) On a donc clans cette hypothèse af: 2 



\ime-"'\EJr) | = -', 



lim e-" I Ea(.r) | = o, x = re''"'- (o < < i). 



» La fonction 



partage avec sina^ la propriété bien connue que son module augmente, au 

 delà de toute limite, en même temps que | x |, quand x va vers l'infini le 

 long d'un vecteur quelconque, à l'exception ^Y un seul. On peut se demander 

 s'il existe des fonctions entières transcendantes dont le module augmente 

 au-dessus de chaque limite en méuie temps que \jo\, quand x va vers 

 l'infini le long d'un vecteur déterminé qidoonquc. La réponse est affirma- 

 tive, comme le montre l'exemple suivant : 



a3sin(,r + /), 



qui a été indiqué par M. H. von Roch et auquel on pourrait ajouter, d'après 

 une remarque de lui, 



g{x) -f-E<,(.r), 



où g(ir) désigne une fonction entière rationnelle. La différence entre une 

 telle fonction entière transcendante et la fonction entière rationnelle oeut 

 être caractérisée comme il suit : la seconde s'approche de l'infini pour 

 toutes les directions d'une manière uniforme et la première d'une m:inière 

 non uniforme. 



M Une question plus profonde est la suivante : la fonction '^^(^x') 



(o <^ a <[ 2) augmente vers l'infini seulement dans l'angle — a- <[ o <[ a- 



qu'on peut amoindrir autant qu'on veut en diminuant a. Existe-l-il des fonc- 

 tions entières qui ne deviennent infinies que si | .t | augmente le long A' un 

 seul vecteur, mais qui diminuent indéfiniment quand \x\ augmente le long 

 de tous les autres vecteurs? 



» Un de mes élèves, M. J. Malmquist, vient d'en former un exemple 

 dans la fonction 



Ë^(^)=I1 r '""' \ T (o<x<i). 



» M, E. Lindelot, en se rattachant à ma Note du 2 mars et en s'appuyant 



