SÉANCE DU 12 OCTOBRE fQoS. 55^ 



sur un théorème fort remarquable trouvé pnr lui (Acta Soc. Se. Fenn., 

 l. XXXr, n" 3, p. liy), a formé une autre fonction de la même nature 

 {Bull, des Se. math., août igoS). Une autre fonction, semblable à celle de 

 M. Lindelôf, est la suivante : 



Ê7(.r) =2 (-''' '"«"""a;"' (n < y. < l}. 



). Les fonctions ^^(a?) et È^(a;) s'approchent en réalité indéfiniment 

 (le zéro quand |^| augmente au delà de toute limite le long d'un vecteur 

 déterminé quelconque situé dans l'angle 



o < o < 2--, 



tandis qu'elles augmentent au-dessus de chaque limite quand x va vers 

 l'infipi le long de l'axe réel positif. 



M Je ferai la remarque suivante qui se rattache immédiatement à la pro- 

 priété énoncée de ces fonctions : 



» Si l'on pose 



ou 



E(.r) = r?-^«"' - e^^«-'-' (a'> a"), 



on obtient en E(j7) une nouvelle fonction entière transcendante possédant 

 la propriété bien remarquable, qui parait à première vue paradoxale, 

 qu'elle s'approche indéfiniment de zéro quand a? va vers l'infini le long d'un 

 vecteur (\é\.&rïmnQ quelconque. L'explication est la même qu'auparavant. La 



(onction diminue avec- — i d'une manière non uniforme. 



» Ou voit facilement que les fondions i'.a.{oc), £5,(0;), E(j7) ne sont pas 

 de genre fini. Existe-il des fonctions de genre fini qui possèdent la même 

 propriété ([ue j'ai fait ressortir pour ces fonctions? 



» La réponse est négative à cause d'un théorème dû à M. Phragmén et 

 dont la démonstration sera publiée prochainement. Ce théorème, qui se 

 rattache à la propriété fondamentale de la fonction £^(0;) (o <^ a <^ 2) et 

 qui amène une précision inespérée au théorème élémentaire yM'«/îeyci/îc;/o/i 

 enliére dont le module a une limite supérieure finie est nécessairement une con- 

 stante, est exprimé ainsi par son auteur : 



» Soient y. et p deux quantités satisfaisant aux inégalités 



o<c. <2, '^'<f<â 



C. K., iyo3, 2- Semestre. (T. CXXXVII, N" 15.) y/j 



