SÉANCE DU 19 OCTOBRE ipoS. SgS 



relative à la courbe entre -v et :■, f(x, y, :) = 0. Ces périodes sont au 

 nombre de ip + m — i et satisfont à une équation différentielle linéaire E', 

 que j'ai déjà considérée et dont les points singuliers désignés par b sont en 

 nombre N (N étant la classe de la surface). De plus, les points singuliers h 

 sont de nature très simple (la surface ayant une position quelconque par 

 rapport aux axes et n'ayant que des singularités ordinaires); au point 6,- 

 correspond une période de (2), qui va jouer dans la suite un rôle essentiel 

 et que nous désignerons par i2;(j), cette fonction étant holomorphe autour 

 de bi. Parmi les périodes de (2), m ~ i correspondent aux points à l'infini 

 et sont des polynômes en y que nous désignerons par t, (y), . . ., -,„_, (y). 

 » 2. Imaginons que, dans le plan de la variable complexe j', on trace 

 des lignes allant d'un point a aux différents points singuliers b^, b.,, . . ., b^. 

 Si, entre iî,, Çl.,, ..., H,, il existe une relation 



expression 



7/2,12, H- ... + m,i2, = o (les m entiers), 

 "' I f ^-^ (y) & + ... + w, f Qs(y) dy 



ne dépendra pas de a; ces expressions sont capitales dans mes recherches. 

 » Pour simplifier ici, plaçons-nous dans le cas général suivant (quoique 

 ce ne soit pas nécessaire pour quelques-uns de nos résultats) : pour une 

 intégrale arbitraire de la forme (2), il y a np -\- m — \ fonctions i2(y) 

 linéairement indépendantes, soient 



o,(j), o^(^) .%+,„-, („y) 



correspondant respectivement aux points singuliers b de même indice. 

 Ces 9. forment un système fondamental de l'équation différentielle li- 

 néaire E'. Envisageons une autre fonction Q., soit Çi^i^y^, où s est supérieur 

 à ip -\- m — r; on aura la relation identique 



m^ r>, +. . .-(- w,j,n^+ m,il, = o (en posant v. = ip + m — i), 

 et l'expression correspondante, indépendante de a, 



m, f 9.,iy)cly -\-...+ mA 9.,{r)v.y. 



)i On obtient de cette façon 



N — 2/> — {m — i), 



