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qua.nlilés qui sont des périodes de l'inlégrale double. On peut établir qu'elles 

 représentent les valeurs de l'intégrale le long de N — 2/j — (ot — i) cycles 

 à deux dimensions, situés tout entiers à distance finie. 



» 3. Ou doit se demander si la valeur de l'intégrale double pour un 

 cycle quelconque situé à distance finie se ramène aux périodes que nous 

 venons de trouver; c'est un point qui peut s'établir en employant, quoique 

 dans des circonstances plus complexes, une méthode analogue à celle que 

 j'ai suivie (t. I, p. 58) dans l'étude des résidus des intégrales doubles. 



» Un second point appelle aussi l'attention. Les N • — a/J — {m — i) pé- 

 riodes obtenues sont-elles distinctes? Je démontre qu'il en est ainsi, c'est- 

 à-dire qu'elles ne sont liées par aucune relation homogène et linéaire à 

 coefficients entiers, si l'intégrale double (i) est prise arbitrairement. J'indi- 

 querai sommairement le mode de démonstration que j'ai employé et qui 

 m'a été utile dans d'autres circonstances. On établit d'abord (ce qui est à 

 peu près évident) que, s'il y a une relation linéaire à coefficients entiers 

 entre les périodes de l'intégrale arbitraire (i), ces coefficients entiers ne 

 dépendent pas des arbitraires figurant dans l'intégrale. Soit alors une inté- 

 grale déterminée, prise d'ailleurs arbitrairement, du type (i). En conser- 

 vant aux fl la même signification que plus haut, une relation supposée entre 

 les périodes se traduira par une relation de la forme 



(3) m, f o, (y)dj + ...+ m, I o,( y) dj = o. 



les 7?i étant des entiers qui ne sont pas tous nuls. Supposons alors que, au 

 lieu de l'intégrale (i), nous parlions de l'intégrale 



//^(■>-^^(f'>'=V/.r./v. 



(p(r) étant un polynôme en y. On devra avoir, quel que soit ce polynôme, la 

 relation 



m, f 'f (y) il,(y)dy+...+ m^ f ç (y ) !>,. ( y ) dy = n, 



avec les mêmes entiers m que dans la relation (3); on peut d'ailleurs sup- 

 poser qu'aucun des î2(y) n'est identiquement nul. De ce que nous venons 

 de dire résulte que l'on aura les relations en nombre infini. 



m 



^ f.y'"-'-<[y)'b' + ••' + "' s J ./^■s(y)<iy = o (k = o, ..2....). 



