SÉANCE DU 19 OCTOBRE igoS. 597 



Il csl aisé de voir que cela est impossible, car alors la fonclioii de x, 



serait identiquement nulle ; ce qui est impossible, car elle éprouve l'accrois- 

 sement 27:1 m/,i2/^(a;), quand x tourne autour du point b/,. Nous avons donc 

 N — 2/> — (m — i) périodes dislincles. 



» 4. Parmi les N — ip — (w — i) périodes distinctes que nous venons 

 de trouver, il y en a ip qui sont les résidus de l'intégrale double relatifs à 

 la ligne à l'infini de la surface. Ces résidus correspondent à l'intégrale 



/-(7)^A-. 



prise autour du point infini, en prenant pour fi(y)2.p intégrales de l'équa- 

 tion E' qui ne sont pas des combinaisons linéaires des m — i polynômes 

 désignés plus haut par -,, -o, .... -„,_,- On jieut établir que, si l'intégrale 

 double est arbitraire, ces 2 p résidus sont certainement distincts. 



» On conclut de là le théorème fondamental suivant : />oiir Vinlégrale 

 double générale de seconde espèce de la forme 



fl 



— ' ' ; ' " dxdy (P polynôme en a^, y et ;), 



le nombre des périodes distinctes correspondant à des cycles à distance finie est 



N — 4/?— (w- 1). 



égal à 



» .5. La comparaison entre le nombre des périodes des intégrales 

 doubles de seconde espèce et le nombre p„ des intégrales doubles distinctes 

 de la même espèce va nous conduire à une relation fondamentale. 



)) Revenons d'abord sur le problème traité dans ma Communication de 

 la dernière séance, à laquelle le lecteur est prié de se reporter : recon- 

 naître si une expression 



-jr (Q polynôme en x, y, z s'annulant sur la courbe double) 



est susceptible de se mettre sous la forme -r — h 3-- Comme nous l'avons 



signalé, le nombre p (qu'il ne faut pas confondre avec po) joue un rôle 

 important dans ce problème. 



C. R., 1903, 2= Semestre. (T. CXXXVII, N« 16.) 79 



