agS ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» 6. Occupons- non S d'abord du cgs où p = i . On voit alors aiséipent que, 



payant la forme précédente, les périodes, que nous venons d'étudier, de 



l'intégrale double 



(^^) r r Q(x,y,z)d.Tdy 



sont toutes nulles. 



M On peut joindre à ce théorème une réciproque : si toutes les périodes 

 de l'intégrale double (4) sont nulles, on aura 



./ ; à.f Or 



et, dans cette réciproque, il n'est pas besoin, comme dans la proposition 

 directe, de supposer que p est égal à un . Indiquons la marche de la démons- 

 tration. 



» On cherche à déterminer les fonctions rationnelles dey 



«1. ff' fJjp^ c.,, ..., c,„, 



de manière à pouvoir satisfaire à la relation pi'écédente, en prenant 



B = a,T, ~r.. -\-a.,pl.,^+c.J., -h... i- €,„.],„. 



» Désignons d'une manière générale par 



il'' cl ï* 

 •^i ^'- ft 



les valeurs, analogues à i2,, se rapportant aux intégrales 



/ \/,dx cL / ^j,da-; 

 les a et les c seront déterminées par les N relations 



rî2,(.x)J)' = a,o;+... + «,^,i2;''+c,V;+...+ c„,Tf («= r , 2, ..., N). 



» Ces relations se réduisent a ip -+- m — i d'entre elles, si l'on suppose 

 que toutes les périodes sont nulles, et l'on établit que les a et c déter- 

 minées par ces équations du premier degré sont des fonctions rationnelles 

 de y. La détermination de A est alors immédiate, et par suite nous avons 

 le théorème suivant : 



» Pour que ~ puisse se met ire sous la Jorine h -j-> «« ^"^'^ ^'"e toutes 



