SÉANCE DU 19 OCTOBRE igoS. 5c)C) 



les périodes de l'intégrale (/j) soient nulles. Cette condition suffisante sera de 

 plus nécessaire, s'il s'agit d'une surface pour laquelle ? = i- 



» 7. Le ihéorème précédenl couLluiL à une proposition imporlante rela- 

 tive aux surfaces pour lesquelles p = i. On montrera d'abord que, en 

 t'crivant que les N — 2/> — (/n — i) périodes de l'intégrale double arhi- 

 ti-aire du type toujours considéré 



sont nulles, on obtient N — 2/j — (/n — j) Vii\Al\oas distinctes . Pour établir 

 ce point, j'ai recours à une analyse dont le principe est le même que pour 

 l'analyse du § 3. Ce point établi, on a alors le théorème suivant : 



« Soit une surjace f pour laquelle p = i . Le nombre p„ des intégrales doubles 

 distinctes de seconde espèce est donné par l'égalité 



?o = N — 4/; — (m - i). 



» On peut encore dire que p„ est égal au nombre des périodes de l'inté- 

 grale ilouble générale de seconde espèce du type envisagé. 



)) Il est bien remarquable que cet énoncé ait précisément la même forme 

 que dans la théorie des courbes algébriques, où le nombre des intégrales 

 abéliennes dislincles de seconde espèce est précisément égal au nombre 

 des périodes de l'intégrale générale de seconde espèce. Mais cette généra- 

 lisation n'est exacte que quand p = i. Il nous reste à examiner le cas où 

 p est supérieur à un. 



■n S. Le cas de p différent de un ne présente pas des difficultés nouvelles, 

 si l'on se sert des résultats précédents et si l'on se reporte aux remarques 

 faites dans ma dernière Communication sur les expressions 



yî' 7T' ■■■' TT' 



que nOus avons fait correspondre à chacune des tourbes C,, . . ., Cp_,. 

 )< On est alors conduit à la formule 



Po 



=--N -/|/;-(//z ^- !)-(?- 1), 



c'est-à-dire que le nombre p„ est égal au notnbre des périodes diminue de ^ — i . 



M Dans la formule précédente, le nombre p„ est un invariant absolu, 

 c'est-à-dire un invariant j)our toute transformation birationnelle. Il n'en 

 est pas de même du nombre p. 



» 9. Je terminerai par une dernière remarque. Nous avons dit plus 



