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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — .Sur lei équaUons linéaires aux différences 

 finies. Note de M. Ai.f. f!iuLDBERG, préseulée par M. É-nile Picard. 



« Je me permets d'indiquer, dans cette Note, pour les équationslinéaires 

 aux différences finies, un théorème analogue au théorème sur les fonctions 

 symétriques des racines d'une équation algébrique. I.e théorème corres- 

 pondantpour les équations différentielles linéaires est démontré, comme 

 on sait, dans un Mémoire fondamental de M. Appell. 



)) Soient 



une équation linéaire aux différences finies, et jj , j|/ , .■•,j'"' un sys- 

 tème fondamental d'intégrales; je vais démontrer le théorème suivant : 



M Toute fonction algébrique entière F dey''^\y^\ . . -yy'^" et des valeurs 

 successives de ces fonctions, qui se reproduit multipliée par un facteur constant 

 différent de zéro quand on remplace y', y',"'. . . ., y]"^ par les éléments d'un 

 autre système fondamental d'intégrales, est égale à une fonction algébrique 

 entière des coefficients de l'équation linéaire et de leurs valeurs successives mul- 

 tipliées par une puissance de n[( — i)" a,"^,]- 



)> La démonstration de ce théorème est absolument analogue à la dé- 

 monstration du théorème fondamental de M. Appell. 



» La fonction supposée F doit, en particulier, se reproduire, à un fac- 

 teur constant près, quand on permute entre elles les fonctionsj'^ ', j^"', ..., 

 y".\ Il résulte de là que cette fonction contient les valeurs successives 

 de r'j,", y^"', . . ., j'"' jusqu'au même ordre. Soit/J cet ordre. 



» 1° Si l'ordre p des plus hautes valeurs successives de y\^\ y^\ • • •. 

 y["', qui figurent dans F est moindre que « — i , la fonction F se réduit à une 

 constante. 



» 2" Si /y = « — I , la fonction F es(, à un facteur près, indépendant 

 de j^", y^'^\ . . ., y'-"' une puissance du déterminant 



c'est-à-dire une puist,ance de Cn[(-- \)'^ à'fl^ \. 



