6:1o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Nous n'avons qu'à reproduire presque textuellement le procédé de 

 M. Picard, en substituant à la notation r/mWe celle Aq valeur successive . 

 » Soit l'expression 



où les Uj. sont des fonctions rationnelles quelconques de r. Cette fonction 

 satisfait à l'équalion linéaire d'ordre «;- : 



(■2) V,,,„. ^ P.;' ¥,„„=_, 4-.. . + Vf-'W, = o: 



on a d'ailleurs 



,/l) r, " V -1- /»'-' V" J- _U'y'"'''V 2 



y,C — «j; V j. 4- «j. V ^^ I + . . . -t- X^ > .r-H,«'-( . 



,/"> _f3;.2'v o-R'-'V -+- _i_ rj'"''i V ! , 



j-"=}.-v,+ ).-v,^,+...+Ar'v, 



a;+m' — I » 



OÙ les y.,., p,., >.j; sont rationnels en .r. 



» A toute solution de l'équalion (a) correspond un système de solu- 

 tions j^.", . . ., y™' de l'équation donnée (i); ce système pourra n'être pas 

 fondamental. Cela arrivera si le déterminant des j^ et de leurs valeurs 

 successives, jusqu'à l'ordre m — i, est nul; en écrivant ceci, on obtiendra 

 une certaine équation en V,. : 



(3) <p(-r,V,,V,,,, . . . , V,r.A) = o, 



^■ étant au plus égal à /n- — j. On aura doue un système fondamental 

 Xx"- • • Jx' » ^' 'o" prend pour V^; une solution de l'équation (2) ne satis- 

 faisant pas à l'équation (3). 



» Ceci posé, supposons que l'équation aux différences finies d'ordre p 



/représentant un polynôme, irréductible, c'est-à-dire n'ayant aucune so- 

 lution commune avec une équation de même forme et d'ordre moindre, 

 ait une solution commune et, par suite, toutes ses solutions communes 

 avec l'équation {2). L'équalion (4). supposée différente deréquatiou (3), 

 n'aura avec celle-ci aucune solution commune, et, par suite, à chaque 

 solution de l'équation (4) correspond un système fondamental de solu- 

 tions pour l'équation (i). 



» Soit doue v'", jV" , • • • ' yr' ^e svsième fondamental correspondant à 



