SÉANCE DU 17 OCTOIiRE 1903. 6^1 



une certaine solntion Vj. de l'équation ( /j), et s|j', s'^', . . ., -'"" le système 

 correspondant à la solution générale de la même équation ; on aura 



^' = c^^y'"-^ «,,vi:' + .., + «„„ y;", 

 ='"" = Cm^y'.!■'' + «,„2 )v' + . . . -K ci„„„y'"\ 



et les a seront des fonctions algébriques de p paramètres arbitraires. 

 L'ensemble de toutes ces substitutions est le groupe de transformations 

 linéaires relatif à l'équation (i); nous le désignerons par G. 



» On peut établir, à l'égard de ce groupe, la proposition suivante qui 

 rappelle le théorème fondamental de_M. Picard dans la théorie des équa- 

 tions différentielles linéaires : 



» Toute fonction rationnelle de x, y'^ y',':', . . ., y'"" et de leurs valeurs 

 successùes, s' exprimant rationnellement en Jonction de x, reste invariante 

 quand on effectue sur y^.\ y[^\ . . ., y""\ les substitutions de G. Toute fonction 

 rationnelle de x et d'un système fondamental y'^\ y"^\ . . . , y'"'\ et de leurs 

 i^aleurs successives, qui reste invariable par les substitutions du groupe G, est 

 une fonction rationnelle de x. 



» Les théorèmes sur la réduction du groupe G par l'adjonction des 

 solutions d'équations auxiliaires sont analogues aux théorèmes bien con- 

 nus de M. Vessiot dans la théorie des équations différentielles linéaires : 



)) Pour que l'équation linéaire (i) soit intcgrahJe par quadratures finies, il 

 aut et il suffit que le groupe G soit un groupe inlégrable. 



» Une équation linéaire d'ordre supérieur au premier n'est pas en général 

 inlégrable par quadratures finies. 



» Ajoutons enfin que la théorie piécédente s'élend, dans ses points 

 essentiels, à toutes les équations aux différences finies, qui possèdent des 

 systèmes fondamentaux de solutions. » 



ALGÈBRE. — Sur la résolution pratique des équations. Note de M. Rabut, 

 présentée par M. Haton de la Goupillière. 



« La méthode de Newton |)oiir la résolution d'une équation quel- 

 conque f(^x) = o s'applique d'ordinaire en calculant, au moyen de l'aj - 

 proximation initiale x,, les approximations successives a-^, x.f, r., . . . par 



