SÉANCE DU 27 OCTOBRE IQoS. 643 



» Elles reviennent à substituer à la courbe 7=/(-^')' "°'^ P'"^ ""^^ 

 série de deux ou trois tangentes successives, mais une parabole osculatrice 

 du deuxième ou du troisième ordre. On reconnaît assez facilement que, 

 sous la seule condition de partir d'une valeur de J-, suffisamment approchée 

 (ou, ce qui revient an même, de pousser assez loin les opérations succes- 

 sives), le second procédé procure une plus grande approximation, ce qui 

 augmente sa supériorité sur le premier. 



» La méthode de Newton n'est enseignée, à ma connaissance, que pour 

 la résolulion d'une équation unique; mais son principe s'étend aisément 

 au cas plus général d'un système d'équations à plusieurs inconnues, qu'il 

 est souvent impossible (ou seulement très long) de réduire à une seule 

 par l'élimination. Dans ce cas aussi, l'approximation peut souvent être 

 rendue plus rapide |)ar l'emploi de formules de condensation analogues à 

 celles que je viens de donner. 



» Soient, en effet, 



/2 (•^. J ) = O 



deuxéquations simultanées à résoudre numériquement, .r, ,y, une première 

 approximation, de laquelle on désire passer directement à la troisième : 



» Posons 



JC ., — i^ j ~"t~ *s ~r" * ■-' j 



73=Ji + " + "'"'' 



et appelons, comme d'ordinaire, p, q, r, s, t les dérivées partielles de 

 f(^x,y). Le système proposé peut s'écrire, eu négligeant s'' et «', 



/.(^i. j'i) + (^ + *'=' V^i -^ (" + '«'«"y/i + =^^1 + ="■*( + "'^ = 'ï' 



Âi^nyï) + (= + <'-')/':: + (« + n'u-)q-,+ z" r, -h zus.,-\- u-t.,= o. 



» Négligeant successivement z- et //-, puis =' et m', on écrit les deux 

 systèmes d'équations du premier degré : 



I /,-hp,:- + '/," = o, 

 au moyen duquel on obtiendra d'abord :; et u ; puis 



( /?,2-'ç' -t-^,w'a' + sV, + ;w^, -(- «-/, = o, 

 ) p.,z^i> -h q.^u-iv -+- z-/:^ + zus., + u'-Lj = o, 



qui permet de calculer ensuite v et w. 



